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<!DOCTYPE html>

<title>Schiebfläche</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Schiebfläche</h1>

</header>

</div>

Eine Schiebfläche oder Translationsfläche ist in der <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> eine <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Fläche</a>, die durch eine besondere Art erzeugt wird:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1},c_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15ae7f7452e416f7b70940ca260b2582f10382cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.156ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1},c_{2}}" loading="lazy"> zwei Raum<a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">kurven</a> mit einem gemeinsamen Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">, so wird die Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b7dc6d279091d354e0b90889b463bfa7eb7247.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1}}" loading="lazy"> so verschoben, dass der Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> auf der Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b30ba1b247fb8d334580cec68561e749d24aff2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{2}}" loading="lazy"> gleitet. Die dabei von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b7dc6d279091d354e0b90889b463bfa7eb7247.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1}}" loading="lazy"> überstrichene Fläche nennt man Schiebfläche.</li></ul>

Liegen die beiden Kurven in einer gemeinsamen Ebene, so ist die Schiebfläche eben. Dieser Fall wird hier immer ausgenommen.

Einfache Beispiele sind

<ol><li>ein senkrechter Kreis<a href="Zylinder_(Geometrie)" title="Zylinder (Geometrie)">zylinder</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b7dc6d279091d354e0b90889b463bfa7eb7247.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1}}" loading="lazy"> ist ein <a href="Kreis" title="Kreis">Kreis</a> (oder ein anderer Querschnitt) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b30ba1b247fb8d334580cec68561e749d24aff2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{2}}" loading="lazy"> eine Gerade.</li>

<li>das elliptische <a href="Paraboloid" title="Paraboloid">Paraboloid</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;z=x^{2}+y^{2}\;}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;z=x^{2}+y^{2}\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17edde17f42db9258dbaf7c51771f1e54571c2b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.916ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \;z=x^{2}+y^{2}\;}" loading="lazy">: wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ c_{1}:\;(x,0,x^{2})\ }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ c_{1}:\;(x,0,x^{2})\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76799227fba044602d41b236b5a61b9a77243c57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.558ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ c_{1}:\;(x,0,x^{2})\ }" loading="lazy"> (<a href="Parabel_(Mathematik)" title="Parabel (Mathematik)">Parabel</a>) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ c_{2}:\;(0,y,y^{2})\ }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ c_{2}:\;(0,y,y^{2})\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d8eaf3d8fa793ebbfa538beb15dfcb3e3c74199.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.215ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ c_{2}:\;(0,y,y^{2})\ }" loading="lazy"> (Parabel) sind.</li>

<li>das hyperbolische Paraboloid <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cbbbdddc4ec01dbf48aa308cc86dc3614aa39c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.626ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}" loading="lazy">: wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1}:(x,0,x^{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}:(x,0,x^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ac738336b7d1e5e880b939863de929fbfea83ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.751ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c_{1}:(x,0,x^{2})}" loading="lazy"> (Parabel) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{2}:(0,y,-y^{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{2}:(0,y,-y^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b2731e925bec545a0e0f0795db28b8963db3d65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.216ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c_{2}:(0,y,-y^{2})}" loading="lazy"> (nach unten geöffnete Parabel) sind.</li></ol>

Schiebflächen spielen in der <a href="Darstellende_Geometrie" title="Darstellende Geometrie">darstellenden Geometrie</a><a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> und der Architektur<a href="#cite_note-3">[3]</a> als leicht modellierbare Flächen eine Rolle.

In der <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a> werden <a href="Minimalfl%C3%A4che#Darstellungsformeln" title="Minimalfläche">Minimalflächen</a> und Sehnenmittenflächen<a href="#cite_note-4">[4]</a> als Schiebflächen aufgefasst und untersucht.

Man sollte die hier beschriebenen Translationsflächen (Schiebflächen) nicht mit den <a href="Translationsfl%C3%A4che" title="Translationsfläche">Translationsflächen in der komplexen Geometrie</a> verwechseln.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</h2></div>

Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ c_{1}:\;{\vec {x}}=\gamma _{1}(u)\ }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ c_{1}:\;{\vec {x}}=\gamma _{1}(u)\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44ae1baee36ae240feefb4de00667aeac4c69297.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.63ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ c_{1}:\;{\vec {x}}=\gamma _{1}(u)\ }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ c_{2}:\;{\vec {x}}=\gamma _{2}(v)\ }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ c_{2}:\;{\vec {x}}=\gamma _{2}(v)\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3067449f808b82ff13443730ee35fd8706b8a3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.428ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ c_{2}:\;{\vec {x}}=\gamma _{2}(v)\ }" loading="lazy"> zwei Raumkurven mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db5bdf7e26369f6e17ab4017f71accfac6f7fc1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.82ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}" loading="lazy">, so hat die zugehörige Schiebfläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> die Parameterdarstellung:<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d030adae0c681cc781f69e8d5111ff5f9454b16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.507ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}" loading="lazy"></li></ul>

und geht durch den Nullpunkt. Offensichtlich lassen sich die Rollen der Kurven <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b7dc6d279091d354e0b90889b463bfa7eb7247.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b30ba1b247fb8d334580cec68561e749d24aff2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{2}}" loading="lazy"> beim Erzeugen (Schieben) vertauschen. Deshalb nennt man beide Kurven Schiebkurven. Durch jeden Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> der Fläche geht eine zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b7dc6d279091d354e0b90889b463bfa7eb7247.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1}}" loading="lazy"> und zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b30ba1b247fb8d334580cec68561e749d24aff2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{2}}" loading="lazy"> verschobene (kongruente) Kurve. Die <a href="Tangentialebene" title="Tangentialebene">Tangentialebene</a> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> wird von den beiden Tangentenvektoren der Schiebkurven aufgespannt, falls die Vektoren <a href="Linear_unabh%C3%A4ngig" class="mw-redirect" title="Linear unabhängig">linear unabhängig</a> sind.

Ist die Bedingung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db5bdf7e26369f6e17ab4017f71accfac6f7fc1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.82ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}" loading="lazy"> nicht erfüllt, muss die durch (*) definierte Schiebfläche weder den Nullpunkt noch die Kurven <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1},c_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1},c_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15ae7f7452e416f7b70940ca260b2582f10382cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.156ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1},c_{2}}" loading="lazy"> enthalten. Die Fläche enthält aber in jedem Fall verschobene Abbilder der Kurven <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1},c_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1},c_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15ae7f7452e416f7b70940ca260b2582f10382cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.156ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1},c_{2}}" loading="lazy"> als Parameterkurven <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc22768f24c56fb51025f2576a4f3cdafa86188a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.684ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v)}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}(u,v_{0})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}(u,v_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3a5986c3e5aea347fef2da60b9f85fd80771aff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.684ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}(u,v_{0})}" loading="lazy">.

Die zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1},c_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1},c_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15ae7f7452e416f7b70940ca260b2582f10382cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.156ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1},c_{2}}" loading="lazy"> gehörige Sehnenmittenfläche hat die Darstellung

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}={\frac {1}{2}}(\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v))\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0d9a57ee4c0d9c7df4f08c60710e0c47d9db88a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.961ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}={\frac {1}{2}}(\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v))\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wendelfläche_als_Schiebfläche_und_Sehnenmittenfläche">Wendelfläche als Schiebfläche und Sehnenmittenfläche</h2></div>

Eine <a href="Wendelfl%C3%A4che" title="Wendelfläche">Wendelfläche</a> ist eine spezielle <a href="Schraubfl%C3%A4che" title="Schraubfläche">Schraubfläche</a>, bei der eine die Schraubachse senkrecht schneidende Gerade verschraubt wird. Sie ist ein Beispiel für eine Minimalfläche und lässt sich als Schiebfläche darstellen:

Die Wendelfläche mit der Parameterdarstellung

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,kv)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62e0678ed0fb3852907ac5b382a80721c7873b66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.374ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,kv)}" loading="lazy"></dd></dl>

hat die Ganghöhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f9e431f2f0e6a49e833e7cbd348dcae63956070.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.706ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi k}" loading="lazy">.

Führt man neue Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ,\varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ,\varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a85382b0205d8dedad9af39ec16fc2b70a6961e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.042ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha ,\varphi }" loading="lazy"> so ein,<a href="#cite_note-6">[6]</a> dass

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u=2a\;\cos({\frac {\alpha -\varphi }{2}})\ ,\ \ v={\frac {\alpha +\varphi }{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e42cca103477e3ab630de1d81f70a3e672b8df5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:33.144ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle u=2a\;\cos({\frac {\alpha -\varphi }{2}})\ ,\ \ v={\frac {\alpha +\varphi }{2}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> eine positive Zahl ist, so erhält man die neue Parameterdarstellung

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=\left(a\cos \alpha +a\cos \varphi \;,\;a\sin \alpha +a\sin \varphi \;,\;{\frac {k\alpha }{2}}+{\frac {k\varphi }{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b566ee76101438c4a5939ac4420887af5edcaca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:60.588ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=\left(a\cos \alpha +a\cos \varphi \;,\;a\sin \alpha +a\sin \varphi \;,\;{\frac {k\alpha }{2}}+{\frac {k\varphi }{2}}\right)}" loading="lazy"></li></ul>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/914889755cd31de4b2c4dc7e6cb09e1ed51f4db3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:48.504ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle =(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ .}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl></dd></dl>

Dies ist die Parameterdarstellung einer Schiebfläche mit den zwei identischen Schiebkurven

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}:\;\gamma _{1}={\vec {X}}(\alpha ,0)=(a+a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ee7f826090a092fb37a7160091a05103de9bb1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:47.327ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle c_{1}:\;\gamma _{1}={\vec {X}}(\alpha ,0)=(a+a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\quad }" loading="lazy"> und</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{2}:\;\gamma _{2}={\vec {X}}(0,\varphi )=(a+a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30dc60f2bc0fbf275f372b48b96c330226e14736.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:46.362ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle c_{2}:\;\gamma _{2}={\vec {X}}(0,\varphi )=(a+a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ .}" loading="lazy"></dd></dl>

Der für die Konstruktion in der Zeichnung benutzte gemeinsame Punkt ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P={\vec {X}}(0,0)=(2a,0,0)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P={\vec {X}}(0,0)=(2a,0,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac7b3d454d54b28fc223d800bffbc71b28324902.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.685ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P={\vec {X}}(0,0)=(2a,0,0)}" loading="lazy">.

Die (identischen) Schiebkurven sind <a href="Schraublinie" class="mw-redirect" title="Schraublinie">Schraublinien</a> mit der Ganghöhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\pi \;,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\pi \;,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9272fd9f74ab9c74e56f2c4aa2b0229e522abb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.835ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k\pi \;,}" loading="lazy"> die auf dem Zylinder mit der Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b1bb9358b28e083c9cdcfccda352277e726939f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.701ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}" loading="lazy"> liegen. Alle Parameterlinien sind verschobene Abbilder der Schiebkurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b7dc6d279091d354e0b90889b463bfa7eb7247.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1}}" loading="lazy"> (im Bild lila). Sie liegen auf senkrechten Kreiszylindern mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">, die die z-Achse als Mantellinie enthalten.

Die neue Parameterdarstellung beschreibt nur Punkte der Wendelfläche, die innerhalb des Zylinders mit der Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4a^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4a^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72615d38ba4d59c59f0b57c6db0e164e516b64a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.984ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4a^{2}}" loading="lazy"> liegen.

Aus der neuen Parameterdarstellung der Wendelfläche erkennt man auch, dass sich die Wendelfläche als Sehnenmittenfläche darstellen lässt:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff9fb8578bdfe404ff04e4896f7a7a9d2d6d165a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:56.98ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ .}" loading="lazy">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha )+\delta _{2}(\varphi ))\ ,\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2f14b32878310f11df72b536ad3c6883a449d9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.451ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle ={\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha )+\delta _{2}(\varphi ))\ ,\quad }" loading="lazy"> wobei</dd></dl></dd></dl></dd></dl></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{1}:\ {\vec {x}}=\delta _{1}(\alpha )=(2a\cos \alpha ,2a\sin \alpha ,k\alpha )\ ,\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/539d08352aaf3c22391178be2917b75581923ad5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.092ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d_{1}:\ {\vec {x}}=\delta _{1}(\alpha )=(2a\cos \alpha ,2a\sin \alpha ,k\alpha )\ ,\quad }" loading="lazy"> und</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{2}:\ {\vec {x}}=\delta _{2}(\varphi )=(2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi ,k\varphi )\ ,\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6080ba2f1e6cc1178bb1efdb9b3bff7fcb7e9482.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.222ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d_{2}:\ {\vec {x}}=\delta _{2}(\varphi )=(2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi ,k\varphi )\ ,\quad }" loading="lazy"></dd></dl>

zwei identische Erzeugerkurven sind.

In der Zeichnung liegt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}:\delta _{1}(\alpha _{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}:\delta _{1}(\alpha _{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/988f7e307d6370c673687323a03d057e282a7534.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.921ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{1}:\delta _{1}(\alpha _{0})}" loading="lazy"> auf der Schraublinie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cccb5a6a2f1acab4ca255e0be86c224ed82282a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.263ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}:\delta _{2}(\varphi _{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}:\delta _{2}(\varphi _{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b52372f26c9eab8f69f0ec8eda8c3244959092f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.954ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{2}:\delta _{2}(\varphi _{0})}" loading="lazy"> auf der (identischen) Schraublinie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9276f8f68c5c23329de74ad76e69f6801358fb1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.263ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d_{2}}" loading="lazy">. Die Sehnenmitte ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M:{\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha _{0})+\delta _{2}(\varphi _{0}))={\vec {X}}(\alpha _{0},\varphi _{0})\ }">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M:{\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha _{0})+\delta _{2}(\varphi _{0}))={\vec {X}}(\alpha _{0},\varphi _{0})\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f3b1603ed8026fd9732d2a068ac38376903e020.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:37.554ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle M:{\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha _{0})+\delta _{2}(\varphi _{0}))={\vec {X}}(\alpha _{0},\varphi _{0})\ }" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Praktische_Vorteile_einer_Schiebfläche">Praktische Vorteile einer Schiebfläche</h2></div>

<dl><dt>in der Architektur</dt>

Eine Oberfläche (z. B. Dach) lässt sich leicht durch Anfertigung einer Schablone für die Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b30ba1b247fb8d334580cec68561e749d24aff2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{2}}" loading="lazy"> und mehreren identischen Schablonen der Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b7dc6d279091d354e0b90889b463bfa7eb7247.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1}}" loading="lazy"> herstellen. Die Schablonen können dabei ohne Mathematik mit künstlerischer Freiheit angefertigt werden. Bei der Positionierung der Schablonen ist nur darauf zu achten, dass sie nach dem Prinzip der Schiebfläche angebracht werden.

<dl><dt>in der darstellenden Geometrie</dt>

Zur Erstellung einer Parallelprojektion einer Schiebfläche müssen 1) Projektionen der Schiebkurven hergestellt werden, 2) von der Projektion der Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b7dc6d279091d354e0b90889b463bfa7eb7247.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{1}}" loading="lazy"> eine Schablone angefertigt und 3) mit Hilfe dieser Schablone verschobene Exemplare nach der Vorschrift der Schiebfläche eingezeichnet werden. Der Umriss der Fläche ergibt sich als Hüllkurve der mit der Schablone gezeichneten Kurven. Dies gilt sowohl für senkrechte als auch für schiefe Parallelprojektionen (<a href="Axonometrie" title="Axonometrie">Kavalierperspektive Vogelperspektive</a>), aber nicht für Zentralprojektionen.

<dl><dt>in der Differentialgeometrie</dt>

Aufgrund der einfachen formalen Beschreibung

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06f74a18d8ec155d7019a64779655cc0c9f3d1f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.807ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}" loading="lazy">

einer Schiebfläche sind die partiellen Ableitungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b88a40cee06e67f4e4fc459e196addd317a6aaa9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.63ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}" loading="lazy"> einfache Ableitungen der beiden Kurven. Insbesondere sind gemischte partielle Ableitungen immer gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">. Also ist bei der Darstellung einer Fläche als Schiebfläche der Koeffizient <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> der <a href="Zweite_Fundamentalform" title="Zweite Fundamentalform">zweiten Fundamentalform</a> immer gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">. Dies erleichtert z. B. den Nachweis, dass eine Wendelfläche eine Minimalfläche (d. h. die <a href="Mittlere_Kr%C3%BCmmung" title="Mittlere Krümmung">mittlere Krümmung</a> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">) ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Rotationsfl%C3%A4che" title="Rotationsfläche">Rotationsfläche</a></li>

<li><a href="Kanalfl%C3%A4che" title="Kanalfläche">Kanalfläche</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Georg Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik. Springer-Verlag, 2014, ISBN 978-3-642-41852-5, S. 259.</li>

<li>W. Haack: Elementare Differentialgeometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-0348-6950-8, S. 140.</li>

<li>C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 122.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> H. Brauner: Lehrbuch der Konstruktiven Geometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-7091-8778-4, S. 236.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Fritz Hohenberg: Konstruktive Geometrie in der Technik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-7091-8148-5, S. 208.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Hans Schober: Transparente Schalen: Form, Topologie, Tragwerk. John Wiley & Sons, 2015, ISBN 978-3-433-60598-1, S. 74.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Wilhelm Blaschke, Kurt Reidemeister: Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie II: Affine Differentialgeometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-47392-0, S. 94.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Erwin Kruppa: Analytische und konstruktive Differentialgeometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-7091-7867-6, S. 45.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> J. C. C. Nitsche: Vorlesungen über Minimalflächen. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-65619-4, S. 59.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>